Think

Giải thích sự ra đời của các tập hợp số học

Đại số là bộ môn chúng ta được học từ những năm cấp 2. Trong bộ môn này, có một phần kiến thức rất cơ bản đó là lý thuyết về các tập hợp số. Bài viết dưới đây, tôi trình bày về khái niệm, kí hiệu, cách ghi nhớ các kí hiệu này và hoàn cảnh ra đời của các tập hợp số này.

Số tự nhiên (Natural numbers)

Ở thuở sơ khai, con người nghĩ ra những con số nhằm mục đích đếm các vật thể. Đây là tập hợp số được ra đời đầu tiên, được kí hiệu là N (Natural).

N = {0, 1, 2, 3...}
N* = {1, 2, 3...}

Ví dụ: không còn ai bên tôi, một con vịt xòe ra hai cái cánh, hai anh em sinh đôi, ba chàng lính ngự lâm, bốn chữ lắm …

Khi có những con số này rồi, cuộc sống của con người ngày một phát triển. Tiền tệ và ngân hàng được sinh ra. Giả sử tôi là một nhà buôn có 10 đồng đem gửi trong ngân hàng. Ngân hàng ghi sổ cho tôi có 10 đồng.

Tuy nhiên, trong một năm thiên tai dịch bệnh hoành hành, tôi không những phải rút toàn bộ số tiền gửi của mình ra mà còn phải vay thêm của ngân hàng 5 đồng nữa. Nếu như vậy, ngân hàng sẽ ghi số tài khoản của tôi vào sổ sách như thế nào. Xuất phát từ nhu cầu đó, tập số tự nhiên được mở rộng ra, thành tập số nguyên.

Số nguyên (Integers)

Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Số nguyên bao gồm các số tự nhiên và các số âm. Tập số này được kí hiệu là Z, để dễ ghi nhớ, hãy liên hệ Z với Zero, tức là số 0. Ta dễ thấy, 0 chính là “trục đối xứng” của tập số này.

Trở lại ví dụ về tài khoản ngân hàng nói ở trên, người chủ ngân hàng chỉ cần ghi tài khoản của tôi là -5 đồng.

Có thể hiểu đơn giản, từ “nguyên” trong từ số nguyên mang hàm ý các đơn vị được đếm là những đơn vị nguyên bản, không bị chia nhỏ. Nhưng rồi xã hội loài người lại tiếp tục phát triển và nhu cầu đo đếm lại phát sinh những yêu cầu mới. Tiền tệ được chia nhỏ ra hơn nữa để đáp ứng nhu cầu mua sắm, chẳng hạn một đồng bây giờ bằng 10 xu. Giá một con gà ở chợ bán là 1 đồng, nhưng tôi chỉ có 5 xu, vậy là người bán có thể bán cho tôi một nửa con gà. Nếu tôi có 7 xu, tôi có thể mặc cả mua 3/4 con gà.

Xuất phát từ nhu cầu đó, tập số nguyên được mở rộng ra thành tập số hữu tỉ.

Số hữu tỉ (Rational Number)

Các số như 0.5, 0.75, 0.125 đều có thể biểu diễn được dưới dạng phân số:

0.5 = \frac{1}{2}

0.75 = \frac{3}{4}

1.25 = \frac{5}{4}

Hữu là có, tỉ là tỉ lệ hay tỉ số. Hữu tỉ tức là có thể được biểu diễn dưới dạng tỉ số. Bất kì số nào có thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số \frac{a}{b} với a, b là 2 số nguyên và b khác 0 đều thuộc tập hợp số Hữu tỉ.

Số hữu tỉ ký hiệu là Q. Để dễ nhớ hãy liên hệ Q với từ Quotient. Quotient chính là Thương trong phép chia \frac{a}{b} . Trong phép chia này, có thể có phần số dư nữa, tiếng anh gọi là remainder.

Q = \{\frac{a}{b} | a,b \in Z, b \neq 0\}

Với tập số hữu tỉ trong tay, ta có thể biểu diễn trên một trục số như thế này.

Nhưng cách loài người chúng ta dùng các con số không chỉ dừng lại ở các mốc con số mà còn dùng đến cả một khoảng giữa các con số. Ví dụ, hãy hình dung trục số trên biểu trưng cho trục thời gian lịch sử loài người. Mốc số 0 được coi là mốc đánh dấu Công nguyên. Bây giờ giả sử tôi muốn chọn khoảng thời gian từ năm thứ 3 trước Công nguyên đến năm thứ 2 trong Công nguyên, thì hàm ý của tôi là tất cả những con số nằm trong đoạn này [-3, 2]. Tuy nhiên trong khoảng này lại chứa một giá trị là \sqrt{2}. Nhưng \sqrt{2} lại không phải là số hữu tỉ bởi vì nó không thể biểu diễn dưới dạng \frac{a}{b} | a,b \in Z, b \neq 0. Vì vậy, chỉ dừng lại ở tập số Hữu tỉ là chưa đủ dùng, và thế là tập số thực ra đời.

Số thực (Real numbers)

Rất đơn giản, tập số thực là ta muốn trục số của chúng ta phải liên tục, không bị đứt ở bất kì một điểm nào hết, vậy thì chúng ta chỉ cần đếm cả số hữu tỉ và số vô tỉ vào là xong. Số vô tỉ tức là những số không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số, kí hiệu là I (Irrational number)

R = Q \bigcup I 

Số thực ở đây mang ý nghĩa là nó đáp ứng trọn vẹn nhu cầu của thực tiễn chứ không phải mang ý nghĩa đối nghịch với faked number.

Tập số thực có ý nghĩa vô cùng to lớn. Khi ta có trọn vẹn được trục số rồi, các nhà khoa học có thể thực hiện các phép tính như giới hạn, vi phân, tích phân… từ đó tạo ra những tiến bộ mới cho khoa học kĩ thuật.

Tóm lại ta có mối quan hệ giữa các tập hợp số như sau:

N^* \subset N \subset Z \subset Q \subset R

Leave a Reply